Distribusi Binomial

Pengambil keputusan harus mengambil keputusan dalam suatu kondisi ketidakpastian. Hal ini terjadi karena jarang sekali pengambil keputusan mengetahui secara lengkap tentang informasi mengenai masa depan. Masalah ketidakpastian dalam ilmu statistic disebut distribusi peluang atau distribusi probabilitas, dimana terjadinya suatu kejadian akan bersifat kemungkinan. Distribusi peluang merupakan suatu model matematis yang menghubungkan nilai variable dengan peluang terjadinya nilai tersebut dalam populasi. Distribusi peluang dibedakan menjadi dua macam,yaitu distribusi peluang diskrit dan distribusi peluang kontinyu. Adapun dalam bab ini kita akan membahas mengenai distribusi peluang diskrit tentang distribusi binomial, distribusi hypergeometrik dan normal.

Distribusi binomial menggambarkan distribusi probabilitas variabel acak diskrit yang hanya mempunyai dua nilai yang mungkin,misal B/G( berhasil/gagal ), M/K ( menang/kalah ) dan sebagainya.Pemakain fungsi dari distribusi binomial sangatlah penting. Di bidang teknik, distribusi ini erat kaitannya dengan pengendalian kualitas (quality control ). Dalam pengendalian kualitas distribusi binomial memiliki kesamaan dengan distribusi hypergeometrik.Suatu distribusi binomial dibentuk oleh suatu eksperimen binomial. Eksperimen inimerupakan “n” kali percobaanBernoulli sehingga harus memenuhi kondisi-kondisi yang telah ditentukan. Distribusi normal merupakan distribusi probabilitas yang paling penting baik dalam teori maupun aplikasi statistic. Terminologi normal itu serndiri bukan tidak pada tempatnya,    karena distribusi ini adalah yang paling banyak digunakan sebagai modelbagi data riildi berbagai bidang yang meliputi antara lain karekteristikmakhluk hidup (berat, tingi badan manusia hewan dll), kesalahan-kesalahan pengukuran dalam eksperimen ilmiah dan sebagai ukuran dan indicator ekonomi. Empat alasan mengapa distribusi normal menjadi distribusi yang paling penting :

-          Distribusi normal terjadi secara ilmiah.

-          Beberapa variable acak yang tidak terdistribusi secara normal dapat dengan mudah ditransformasi menjadi suatu distribusi varibel acak yang normal.

-          Banyak hasil dan teknik analisis yang berguna dalam pekerjaan statistic berfungsi dengan benar jika distribusi normal

-          Ada variable acak yang tidak menunjukan distribusi normal pada populasinya, namun distribusinya dari rata-rata sample yang diambil secara random dari populasi tersebut ternyata menunjukan distribusi normal.

BEBERAPA SEBARAN PELUANG DISKRET

Sebaran Seragam

Sebaran seragam diskret adalah bila peubah acak X mempunyai nilai-nilai dengan peluang yang sama, maka sebaran seragam diskretnya diberikan oleh    untuk x = .

Contoh :

Bila sebuah dadu setimbang dilemparkan, setiap unsur ruang contoh S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} mempunyai peluang yang sama untuk muncul, yaitu . Oleh karena itu, kita mempunyai sebaran seragam dengan untuk 1, 2, 3, 4, 5, 6.

2.2  Sebaran Binom dan Multinom

Sebaran binom  adalah bila suatu ulangan binom mempunyai peluang keberhasilan  p  dan peluang kegagalan q = 1 – p, maka sebaran peluang bagi peubah acak binom X, yaitu banyaknya keberhasilan dalam n ulangan yang bebas, adalah , untuk x = 0, 1, 2,…….,n.

Percobaan binom adalah percobaan yang memiliki cirri-ciri sebagai berikut :

1.      Percobaannya terdiri atas n ulangan.

2.      Dalam setiap ulangan, hasilnya dapat di golongkan sebagai berhasil atau gagal.

3.      Peluang berhasil, yang dilambangkan dengan p, untuk setiap ulangan adalah sama, tidak berubah-ubah.

4.      Ulangan-ulangan itu bersifat bebas satu sama lain.

Contoh :

Tentukan peluang mendapatkan tepat tiga bilangan 2 bila sebuah dadu setimbang dilemparkan 5 kali

Jawab :

Peluang keberhasilan  setiap ulangan yang bebas  ini adalah  dan peluang kegagalanadalah . Dlam  hal ini munculnya bilangan 2 dianggap keberhasilan. Maka

                =

                = 0,032

Nilai tengah dan ragam bagi sebaran binom b(x;n,p) adalah 

                                   dan

Sebaran multinom adalah bila setiap ulangamn menghasilkan salah satu dari k hasil percobaan , dengan peluang , maka sebaran peluang bagi peubah acak , yang menyatakan beberapa kali  terjadi dalam n ulangan yang bebas, adalah

          ,     dengan  dan

Contoh :

Bila 2 dadu dilemparkan 6 kali, berapa peluang mendapatkan  jumlah bilangan yang muncul sebesar 7 atau 11 sebanyak 2 kali, bilangan yang sama pada kedua dadu sekali, dan kemungkinan ttga kali?

Jawab :

Kita daftarkan kejadian  yang mungkin terjadi  :

 : terjadi total 7 atau 11,

 : muncul bilangan yang sama pada kedua dadu,

 : kemungkinan lainnya selain dua diatas.

Dalam setiap ulangan, peluang masing-masing kejadian diatas adalah . Ketiga peluang tersebut tidak berubah dari ulangan satu ke ulangan lainnya. Dengan menggunakan sebaran multinom denagn , kita mendapatkan peluang yang dinyatakan :

                       

                                                           =

                                                           = 0,1127

Sebaran Hipergeometrik

Sebaran hipergeometrik adalah bila dalam percobaan N benda, k benda diantaranya diberi label “berhasil” dan N – k benda lainnya diberi label “gagal”, maka sebaran peluang bagi peubah acak hipergoemetrik X, yang menyatakan banyaknya keberhasilan dalam contoh acak berukuran n, adalah , untuk x = 0, 1, 2,…….,n.

Contoh :

Bila 5 kartu diambil secara acak dari seperangkat kartu bridge, berapa peluang diperoleh 3 kartu hati?

Jawab :

Dengan menggunakan sebaran hipergeometrik untuk n = 5,  N = 52, k = 13, dan x = 3, maka peluang memperoleh 3 kartu hati adalah  h(3; 52, 5, 13) =

Nilai tengah dan ragam bagi sebaran hipergeometrik h(x;N,n,k) adalah

                                                 

                                                      =

Contoh :

Perusahaan telpon melaporkan bahwa diantara 5000 pemasang telpon baru, 4000 menggunakan telpon ‘tombol’. Bila 10 diantara pemasang baru tersebut diambil secara acak, berapa peluang tepat ada 3 orang yang menggunakantipe ‘putar’?

Jawab :

Karena ukuran populasi N = 5000 relatif sangat besar dibandingkan dengan ukuran contoh n = 10, maka kita akan menghampiri peluang yang ditanyakan dengan menggunakan sebaran binom. Peluang orang menggunakan tipe ‘putar’ adalah 0,2, maka peluang tepat ada 3 orang yang menggunakan tipe ‘putar’ diantara 10 orang contoh tersebut adalah

                           h(3; 5000, 10, 1000) = b(3; 10, 0,2)

                                                            =

                                                            = 0.8791-0.6778

                                                            = 0.2013

Sebaran hipergeometrik peubah ganda adalah bila suatu populasi berukuran N disekat menjadi k sel  masing-masing dengan unsur, maka sebaran peluang bagi peubah acak , yang menyatakan banyaknya unsur yang terambil dari sel-sel  bila dari populasi itu diambil contoh acak berukuran n adalah

                       

Sedangkan dalam hal ini  dan

Contoh :

Seseorang hendak menanam halaman belakang dan depan rumahnya dengan tanaman bunga. Dari sebuah kotak yang berisi 3 umbi tulip, 4 umbi daffodil, dan 3 umbi hyacinth ia mengambil 5 umbi secara acak untuk ditanam dihalaman depan, sedangkan 5 umbi sisanya ditanam dihalaman belakang. Berapa peluang ketika musim berbunga tiba dihalaman depan berbunga 1 tulip, 2 daffodil, dan 2 hyacinth?

Jawab :

Dengan menggunakan sebaran hipergeometrik dengan

 dan n = 5, kita memperoleh peluang yang dinyatakan, yaitu 
 

 Sebaran Binom Negatif dan Sebaran Geometrik

Sebaran binom negatif adalah bila ulangan yang bebas dan berulang-ulang dapat menghasilkan keberhasilan dengan peluang p dan kegagalan dengan peluang q = 1- p, maka sebaran peluang bagi peubah acak X, yaitu banyaknya sampai terjadinya k keberhasilan, diberikan menurut rumus , untuk x = k,k + 1,k + 2,……

Contoh :

Hitunglah peluang seseorang yang melemparkan 3 uang logam akan mendapatkan semua sisi gambar atau semua sisi angka untuk kedua kalinya pada lemparan yang kelima.

Jawab :

Dengan menggunakan sebaran binom negatif dengan x = 5, k = 2, dan p = ¼, kita mendapatkan  

                                           = =   

Sebaran Geometrik adalah bila tindakan yang bebas dan berulang-ulang dapat menghasilkan keberhasilan dengan peluang p dan kegagalan dengan peluang q = 1 - p, maka sebaran peluang bagi peubah acak X, yaitu banyaknya ulangan sampai munculnya keberhasilan yang pertama, diberikan menurut rumus  , untuk x = 1, 2, 3,……

Contoh :

 Hitunglah peluang bahwa seseorang yang melemparkan sekeping uang logam yang setimbang, memerlukan 4 lemparan sampai diperoleh sisi gambar.

Jawab :

Dengan menggunakan sebaran geometrik dengan x = 4 dan  p = ½, kita memperoleh