Konsep Probabilitas

Konsep Probabilitas adalah suatu konsep yang dilakukan untuk mencari peluang dari suatu kejadian dengan melakukan pengumpulan data secara acak (random). Dengan konsep ini kita dapat mengetahui pemahaman tentang peluang dan jenis-jenisnya.

LANDASAN TEORI

Konsep Probabilitas

 

                   Teori Probabilitas  merupakan cabang dari ilmu matematika yang dipergunakan dan yang mempelajari tentang tingkah laku dari faktor untung-untungan. Konsep tentang untung-untungan. Itu sendiri lebih mudah dijelaskan dengan contoh-contoh daripada harus dirumuskan dengan kata-kata. Sebagai contoh, misalkan kita mempunyai 16 bola lampu listrik yang spesifikasinya sama dan yang berbeda hanya warna menyalanya. Dari 16 bola lampu tersebut 8 diantaranya berwarna biru dan sisanya berwarna hijau. Ke-16 bola lampu dimasukkan ke dalam kotak secara random. Apabila diambil satu bola lampu secara random (acak) maka diyakini bahwa bola lampu yang terambil akan berwarna biru atau berwarna hijau. Apakah hasil pemilihan demikian itu akan menghasilkan bola lampu berwarna biru atau hijau tidak dapat ditebak sebelumnya dengan pasti dan semua itu tergantung pada faktor untung-untungan.

Dalam proses pemilihan bola lampu diatas terdapat dua macam kondisi yang dapat menentukan hasilnya, yaitu kondisi yang diketahui dan kondisi yang tidak diketahui. Kondisi yang diketahui adalah bola lampu yang ada identik dalam segala hal kecuali warna. Bola lampu yang berwarna biru berjumlah 8 buah dan hijau 8 buah, dengan kata lain jumlah bola lampu yang berwarna biru sama dengan yang berwarna hijau. Kondisi yang tidak diketahui , misalnya, letak bola lampu warna biru dan hijau dalam kotak, pemilihan atau pengambilan bola lampu yang hanya dipengaruhi oleh kemauan untuk memilih tanpa pengertian tentang yang akan dipilih. Dengan demikian pengambilan tidak dapat diramalkan sebelumnya dengan pasti.

Faktor untung-untungan biasanya dihubungkan dengan pengertian tentang kemungkinan atau peluang (probability). Hal itu disebabkan hasilnya tidak mutlak sehingga kita hanya dapat menyatakan kemungkinan atau tingkat kepastian timbulnya suatu kejadian. Kemungkinan atau tingkat kepastian tersebut tidak dapat diduga dengan pasti akan tetapi dapat dianalisis atas dasar logika ilmiah.

Misalkan terdapat y kejadian yang mungkin dan kejadian tersebut terbatas jumlahnya, eksklusif secara bersama dan mempunyai kesempatan yang sama untuk terjadi. Apabila ada sejumlah x dari kejadian tersebut merupakan suatu peristiwa A, maka probabilitas peristiwa A dapat dirumuskan sebagai suatu rasio  dan secara umum dinyatakan dengan :

Contoh :

Ada 6 orang karyawan di bagian produksi, yaitu Agus, Budi, Cindana, Dodi, Elisa dan Fauzan. Dari ke-6 karyawan tersebut akan dipilih satu karyawan untuk mengikuti pelatihan. Pemilihan dilakukan secara random (acak). Berapakah probabilitas terpilihnya Dodi untuk mengikuti pelatihan ini?

Penyelesaian :

Peristiwa yang mungkin terjadi adalah terpilihnya 1 dari ke-6 karyawan. Apabila A adalah suatu peristiwa terpilihnya Dodi dan peristiwa tersebut adalah salah satu dari 6 peristiwa yang mungkin terjadi adalah :

Teori probabiltas sebenarnya memberikan cara pengukuran kuantitatif tentang kemungkinan atau tingkat kepastian tentang terjadinya suatu peristiwa. Apabila x merupakan jumlah dari suatu kejadian yang khusus, misalkan suatu peristiwa A dalam serangkaian y percobaan dalam jumlah yang besar, maka probabilitas peristiwa A merupakan frekuensi relatif :

 dan dinyatakan sebagai

Misalkan dari cintoh pemilihan karyawan diatas tersebut diatas diulang sebanyak 2000 kali dan hasilnya sebagai berikut :

Orang	Agus	Budi	Cindana	Dodi	Elisa	Fauzan
X	332	338	330	334	338	328

Di mana nilai x merupakan jumlah perulangan suatu kejadian tertentu yanag muncul selama pengulangan ini berlangsung. Frekuensi relatif kejadiannya adalah nilai-nilai x yang dibagi dengan jumlah pengulangan sebanyak y = 2000 dan diperoleh hasilnya sebagai berikut :

Orang	Agus	Budi	Cindana	Dodi	Elisa	Fauzan
X	332	338	330	334	338	328
x/y	0.166	0.169	0.165	0.167	0.169	0.164
Ideal	0.167	0.167	0.167	0.167	0.167	0.167

Frekuensi relatif tiap n terlihat berbeda akan tetapi jelas sekali berkisar 1/6 = 0.167

Apabila percobaan random (acak) di atas dilakukan berkali-kali sampai dalam jumlah yang sangat besar tak terhingga, maka x/y dari n akan mempunyai tendensi untuk berkonvergensi ke suatu nilai konstan yang dianggap sebagai probabilitas A, yaitu sebesar 1/6.

 Ruang Sampel

Sebuah ruang sampel S yang berhubungan dengan suatu percobaan adalah sebuah kelompok yang mempunyai ketentuan tiap unsur dari S. Tiap unsur dari S menyatakan suatu hasil percobaan  dan tiap hasil percobaan harus sesuai dengan satu dan hanya satu unsur. Ruang sampel dapat dianggap sebagai suatu kelompok universal bagi semua semua hasil aktual ataupun konseptual yang mungkin terjadi karena pada setiap percobaan selalu diinginkan terjadinya berbagai peristiwa yang berhubungan dengan percobaan itu sendiri.

Ruang sampel biasanya dilambangkan dengan S.

Contoh :

Warna mesin Cuci yang diproduksi oleh PT. Bahagia adalah putih dann merah. Suatu rumah tangga mememsan 2 mesin cuci tersebut dan pengirimannya dilakukan 2 kali.

a.       Berapa probabilitasnya ke-2 mesin cuci berwarna merah?

b.      Berapa probabilitasnya ke-2 mesin cuci berwarna merah?

c.       Berapa probabilitasnya pengiriman pertama berwarna merah?

Penyelesaian:

Misalkan X adalah warna mesin cuci pada pengiriman pertama, Y adalah warna mesin cuci pada pengiriman kedua, P adalah mesin cuci berwarna putih dan M adalah mesin cuci berwarna merah, maka komposisi yang mungkin (X,Y) adalah :

Maka,

a.       Probabilitas ke-2 mesin cuci berwarna merah adalah ¼, yaitu mm

b.      Probabilitas ke-2 mesin cuci berwarna putih adalah ¼, yaitu pp

c.       Probabilitas pengiriman pertama warna merah adalah 2/4 yaitu mp dan mm

Elemen Probabilitas

                   Suatu percobaan atau eksperimen adalah setiap perbuatan yang diketahui bagaimana cara mengerjakannya dan dapat diulang dalam kondisi yang sama. Di antara sejumlah contoh ialah melempar mata uang logam yang sisinya seimbang ; melempar sebuah dadu yang keenam sisinya seimbang; mengambil nomor urut undian dalam suatu tes wawancara.

Ruang sampel atau sampel space (S) adalah keseluruhan hasil yang mungkin dalam suatu percobaan. Kita harus mengetahui S suatu percobaan dan apabila S itu berhingga banyak elemennya kita harus juga mengtahui berapa banyak jumlah elemennya .

Beberapa istilah yang menyangkut suatu peristiwa anatara lain:

a.       peristiwa yang hanya mempunyai 1 titik dinamakan peristiwa sederhana (simple event).

b.      peristiwa yang hanya mempunyai lebih dari1 titik dinamakan peristiwa gabungan (compound event).

c.       peristiwa yang tidak mempunyai elemen titik dinamakan peristiwa mustahil (imposible event).

 = (peristiwa A dan B terjadi) atau peristiwa C terjadi

 = (peristiwa A atau B terjadi) dan peristiwa C terjadi

                 = bukan peristiwa A yang terjadi

   = peristiwa A atau B atau bukan peristiwa C yang terjadi

   = peristiwa A dan B dan bukan peristiwa C yang terjadi

= (peristiwa A dan B) atau bukan peristiwa C yang terjadi

= (peristiwa A atau B) dan bukan peristiwa C yang terjadi

Apabila suatu percobaan dapat menimbulkan sejumlah y hasil yang berbeda dan mempunyai kesempatan untuk terjadinya sama dan apabila x dari pada hasil di atas merupakan peristiwa A, maka sesuai dengan definisi probabilitas peristiwa A dapat dirumuskan :

Semua peristiwa yang bukan A dinyatakan sebagai  atau dan peristiwa tersebut mempunyai probabilitas

Perumusan diatas harus memenuhi ketentuan sebagai berikut:

1.      Probabilitas A harus merupakan bilangan non negatif, yaitu :

                                      

2.      Jumlah probabiltas dari A ditambah  harus sama dengan satu :

                                      

         Contoh :

Sebuah Dadu dengan enam sisi yang seimbang dilempar 2 kali dan misalkan B adalah peristiwa akan diperolehnya hasil yang jumlah titiknya 4, maka berapakah probabilitas peristiwa B akan terjadi?

Penyelesaian :

Ruang sampel dan ruang hasil B masing-masing adalah :

               n(S) = 36

               n(B) = 3, yaitu {(1,3), (2,2), (3,1)}

              

Peristiwa Ekslusif Bersamaan

                  Dua peristiwa merupakan peristiwa yang eklusif secara bersama apabila kedua peristiwa tersebut tidak dapat terjadi pada waktu yang bersamaan. Secara matematis dua kelompok, misalkan A dan B dikatakan eksklusif secar bersama atau terpisah (disjoint) jika keduanya tidak mempunyai unsur yang sama dan

Contoh :

Ada kotak berisi 12 minuman air mineral dalam gelas plastik dimana 5 gelas diantaranya berwarna putih dan sisanya berwarna biru. Jika Gelas plastik diambil sekaligus secara acak (E). Berapakah probabilitas bahwa ketiga gelas tersebut berwarna putih?

Penyelesaian :

Banyak cara 3 gelas plastik diambil dari 12 gelas plastik adalah :

                                      

Banyak cara 3 gelas plastik diambil dari 12 gelas plastik dan gelas yang terambil semuanya bewarna putih adalah :

                                      

Probabilitas bahwa ketiga gelas yang terambil berwarna putih adalah

                                      

 

Peristiwa Gabungan dan Tidak Ekslusif Bersamaan

Apabila peritiwa A dan B merupakan suatu gabungan (union) dan tidak ekslusif secara bersama dan apabila kedua peristiwa tersebut dalam sebuah ruang sampel yang terbatas, maka probabilitas untuk A  B adalah :

                                   

Contoh :

Karyawan dari PT Kiat Persada terdiri dari atas 50% wanita dan 50% pria. Sebanyak 20% dari karyawan wanita telah berkeluarga dan 60% dari karyawan pria telah berkeluarga.  Apabila dipilih sampel seorang karyawan secara random, berapa probabilitasnya seorang karyawan wanita atau seorang yang telah berkeluarga ?

Penyelesaian :

Misalkan A adalah peristiwa karyawan wanita yang terpilih dan B adalah peristiwa seorang yang telah menikah terpilih. Ruang sampelnya adalah jumlah seluruh karyawan yang bekerja pada PT Kiat Persada tersebut dan dimisalkan dengan  N. Dengan demikian, jumlah karyawan wanita menjadi N/2 dan karyawan pria menjadi N/2. Jumlah karyawan yang telah berkeluarga adalah :

                                    0,20 x + 0,60 X =  N

Karena sifat dari probabilitas, maka N dapat dimisalkan berjumlah sama dengan 1 sehingga diperoleh :

            P (A) = dan P (B)

            P (A  B) = x 0,20 =

            P (A  B) = P(A) + P(B) – P(A B)

                            =

 

Peristiwa Independen

Dua peristiwa dikatakan independen jika dan hanya jika terjadi atau tidak terjadinya peristiwa pertama tidak dipengaruhi oleh terjadi atau tidak terjadinya peristiwa kedua. Apabila A dan B merupakan peristiwa yang mempunyai probabilitas lebih besar daripada nol dan apabila A tidak tergantung pada B dan B tidak bergantung pada A, maka kedua peristiwa tersebut dikatakan peristiwa yang independen jika dan hanya jika :

                                                      P(A B) = P(A) x P(B)

Contoh :

Ada 6 orang karyawan di bagian produksi, yaitu Agus, Budi, Cindana, Dodi, Elisa dan Fauzan. Dari ke-6 karyawan tersebut akan dipilih dua karyawan untuk mengikuti pelatihan. Pemilihan dilakukan secara acak. Peristiwa yang mungkin terjadi adalah terpilihnya 2 dari ke-6 karyawan, berapakah probabilitasnya Agus dan Dodi terpilih ?

Penyelesaian :

Pada pemilihan atau pengambilan satu nama, peristiwa diperolehnya nama Agus dan peristiwa diperolehnya nama Dodi merupakan dua peristiwa yang ekslusif secara bersamaan. Apabila A adalah peristiwa diperolehnya Agus dan D adalah peristiwa diperolehnya Dodi, maka dengan menggunakan persamaan P(A B) = P(A) x P(B) diperoleh probabilitas dari peristiwa diatas sebesar :

                                    P(A D) = P(A) x P(D)

                                               

Probabilitas Bersyarat

Dalam pokok bahasan probabilitas, peristiwa A terjadi dengan probabilitas P(A). Pada keadaan tertentu adakalanya diperlukan pengetahuan tentang probabilitas peristiwa A apabila diketahui peristiwa B telah terjadi dan biasanya notasi yang digunakan adalah .  ini dibaca “probabilitas A disyaratkan B” atau “probabilitas terjadinya A apabila B telah terjadi.”

         Sebagai contoh, misalkan X merupakan peristiwa mahasiswa memperoleh nilai A untuk mata kuliah statistik industri. Mahasiswa laki-laki yang mengambil mata kuliah statistik industri dinotasikan dengan L dan wanita dengan W. Mahasiswa yang mengambil mata kuliah statistik industri  berasal dari pulau Jawa, Sumatra, dan Kalimantan masing-masing dinotasikan dengan F., S, dan K. Kemudian,

= Probabilitas mahasiswa memperoleh nilai A untuk mata kuliah statistik industri  apabila mahasiswa tersebut laki-laki

   = probabilitas mahasiswa memperoleh nilai A untuk mata kuliah statistik industri apabila mahasiswa tersebut wanita

= probabilitas mahasiswa memperoleh nilai A untuk mata kuliah statistik industri apabila mahasiswa tersebut berasal dari pulau Jawa

= probabilitas mahasiswa memperoleh nilai A untuk mata kuliah statistik industri apabila mahasiswa tersebut berasal dari pulau Sumatra

= probabilitas mahasiswa memperoleh nilai A untuk mata kuliah statistik industri apabila mahasiswa tersebut berasal dari pulau Kalimantan.

Apabila P(B) 0, maka probabilitas bersyarat dari peristiwa A dengan ketentuan atau syarat peristiwa B telah terjadi, didefinisikan dengan :

                                    = dengan syarat P(B) 0

Ketentuan P(B) 0 mengandung arti bahwa probabilitas peristiwa B yang menjadi syarat bagi peristiwa A harus lebih besar dari pada nol.

Apabila A dan B merupakan peristiwa yang independen dan mempunyai probabilitas yang lebih besar dari nol, maka:

                      

           

                      

Contoh :

Tiga disket warna hitam dan dua disket warna hijau dimasukkan kedalam suatu kotak dan penempatan disket tersebut dilakukan secara acak . Apabila diambil secara acak 2 disket dari dalam kotak tersebut dimana disket pertama tidak boleh dikembalikan sebelum disket yang kedua diambil, berapakah probabilitas kedua disket yang terpilih berwarna hitam semua ?

Penyelesaian :

Apabila A merupakan peristiwa disket hitam terpilih pada pengambilan pertama dan B merupakan peristiwa disket hitam terpilih pada pengambilan kedua dan apabila tiap disket yang terpilih mempunyai kesempatan yang sama untuk terpilih, maka P(A) = 3/5.

Probabilitas peristiwa B dengan syarat peristiwa A telah terjadi adalah :

                                   

Probabilitas pengambilan pertama menghasilkan disket warna hitam dan pengambilan kedua juga menghasilkan disket warna hitam, dengan demikian probabilitas kedua disket yang diambil tersebut hitam dapat diperoleh dengan menggunakan persamaan sebagai berikut, = dengan syarat 0 :